Les demoiselles du pensionnat
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Les demoiselles du pensionnat.
Parlons un peu maintenant de ces jeunes filles qui adorent le tennis en pension, et qui découvrent au cours de leur promenade quotidienne que la menue dévote tombe dans l'abus des rites, à qui l'on interdit le choix dans la date et qui rêvent de la pièce du fond...
Un pensionnat, donc, et une classe de quinze jeunes filles soumises à un règlement draconien.
Tous les jours, du lundi au dimanche, ces demoiselles sortent en rang par trois.
Pour éviter des rencontres qu'une certaine morale réprouve, les rangs sont formés selon une disposition qui change tous les jours, afin qu'aucune pensionnaire ne se trouve deux jours différents sur le même rang que chacune de ses consoeurs.
Il s'agit donc, ici encore, de former des triades comme dans le problème des muses, afin que les quinze demoiselles se répartissent chaque jour en cinq groupes de trois de façon toujours différente.
Comme chaque demoiselle rencontre chacune des quatorze autres deux par deux, il faudra donc sept jour pour que toutes les rencontres aient lieu.
Nommons les demoiselles A,B, ... ,O (cette dernière s'étant par la suite rendue célèbre, mais c'est une autre histoire).
Les premières triades que l'on peut former autour de A sont, par exemple: ABC, ADE, AFG, AHI, AJK, ALM, ANO.
Une étude comparable au problème des muses, mais plus complexe ici, permet de construire 35 triades correspondant au conditions proposées:
ABC BDF CDG DHL EHM FHN GHO
ADE BEG CEF DIM EIL FIO GIN
AFG BHJ CHK DJN EJO FJL GJM
AHI BIK CIJ DKO EKN FKM GKL
AJK BLN CLO
ALM BMO CMN
ANO
Quand les demoiselles me viennent, l'espace m'arrive...
Nous retrouvons, ainsi qu'il a été dit dans le problème des muses, des structures de droites: deux demoiselles définissent une triade et une seule.
Mais si nous cherchons, par exemple, les triades disjointes de ABC et contenant D, nous en trouvons plusieurs: les quatre de la quatrième colonne conviennent.
Le principe d'unicité n'est plus.
Cherchons comme précédemment à construire le PLAN défini par ABC et D: AD impose F, CD impose G.
On obtient l'ensemble ABCDEFG.
Remarquons que pour deux points de cet ensemble, le troisème point de la droite définie par ces deux points est encore un point de l'ensemble.
Nous avons obtenu un plan, puisque la droite définie par deux points quelconques du plan est incluse dans le plan.
Pourtant, on n'obtient pas tous les points de l'ensemble des quinze points: l'espace considéré n'est pas à deux dimensions, mais à trois dimensions.
Formons de la même façon tous les plans possibles: on en trouve quinze:
ABCDEFG
ABCHIJK
ABCLMNO
ADEHILM
ADEJKNO
AFGHINO
AFGJKLM
BDFHJLN
BDFIKMO
BEGHJMO
BEGIKLN
CDGHKLO
CDGIJMN
CEFIJLO