Initiation aux fractales ou « l'effet vache-qui-rit »

Table des matières

1. L'effet vache-qui-rit.
2. Un cabinet d'amateur
3. La côte de Bretagne
4. Concerto pour Peano
5. Le flocon de neige
6. Longueur infinie, aire finie
7. Dimension fractale
8. Flammes et vagues
9. Le dragon du métro
10. Quand le hasard s'en mèle
11. Paysage fractals
12. L'éponge et le savon
13. Pour conclure ( ?)
    

L'effet vache-qui-rit.

Qui ne connaît le célèbre bovidé imaginé au du XX èm siècle par Benjamin Rabier afin de vanter les mérites d'un mélange de produit lactés fermentés..
Ce sympathique animal arbore de superbes boucle d'oreilles, qui reproduisent la boîte sur laquelle on reconnaît l'animal avec ses boucles d'oreilles en forme de boîtes sur laquelle...
Pour les végétariens, on peut aussi trouver, sur certaines boîtes de camembert, des moines montrant une boîte sur laquelle on ne voit des moines montrant...
Vous avez compris
Nous allons aujourd'hui explorer ces drôles d'objets dont une partie égale le tout, où le morceau vaut l'ensemble.
Impossible, dites-vous ?
Raison de plus pour que les mathématiques s'y intéressent.
D'autant que ces objets, imaginaires le plus souvent, mais parfois bien réels, permettent une approche infini.. si l'on peut le dire.
Prenez par exemple un segment de droite puis coupez-le en deux par un point.
Chacun des segments obtenu contiendra autant de points que le segment du début, quelle que soit sa longueur.
On peut en effet faire correspondre à tout point d'un segment un point unique d'un autre, donc un segment de droite contient autant de points qu'un autre deux fois plus long.
On peut, par de tels procédés et en « oubliant « que l'on manipule des quantités infinies, « démontrer » des paradoxes du genre 2 = 1.
Par exemple, la pseudo-démonstration suivante :
On a simplement oublié à la cinquième ligne que diviser par zéro introduit l'infini.
Plus étonnant, on montre qu'il existe autant de fraction de la forme a/b que de nombre entiers.
Or, un nombre entier est lui-même de la forme a/b avec b = 1.
Une partie de l'ensemble des fractions (les puristes parlent de « rationnel ») a donc autant d'élément que tout.
Par contre, il existe infiniment plus de nombres réels que de nombres entiers.
Tout cela vous paraît bien compliqué ?
Pour vous consoler, ne perdez pas de vue que les mathématiciens parmi les plus importants ont séché sur des problèmes de ce genre, que certains de ces problèmes ne sont pas encore résolus, que d'autre ne l'ont été que grâce à l'ordinateur... belle revanche de l'outil sur l'esprit.

Démonstration de 2 = 1

Soient a et b deux nombres égaux: a = b
On multiplie par a chaque membre: a² = ab
On retranche b²: a²-b² = ab-b²
On factorises: (a+b)(a-n)=b(a-b)
On simplifie par (a-b): a+b=b
Et, comme a = b: a + a = a donne 2a = a
Et en simplifiant par a: 2 = 1

Un cabinet d'amateur

Grand explorateur de formes nouvelles d'expression et de situations romanesques surprenantes, Géorges Pérec imagina en 1979 de dépeindre le vernissage qu'un certain Hermann Raffke organisa en l'honneur du peintre Heinrich Kürz, personnages bien entendu imaginaires.
Ce fut « Un cabinet d'amateur ».
Dans cette exposition, on remarque particulièrement un tableau représentant Raffke assis de dos, et contemplant l'exposition l'exposition de ses toiles, parmi lesquelles se trouve reproduite la toile le représentant en contemplation devant ses toiles parmi lesquelles...
Mais Pérec introduit une dimension perverse dans cet effet Vache-qui-rit.
D'une reproduction sur l'autre, certains détails se trouvent modifié, et au thème de l'abîme (nom savant de l'effet VQR) se superpose le thème des variations infimes.
Ne parlons pas des poupées russes, des frères Ripolin, des boîtes emboîtées, des catalogues répertoriant des catalogues, des sous-programmes appelant des sous programmes.
Toutes ces situations, dont l'analyse conduit à une nouvelle situation identique à la précédente, font souvent appel à la notion de récurrence.
Le principe est simple: pour gravir un escalier il suffit de savoir passer d'une marche à la suivante.
Trouvez alors une marche (en général la première), et vous gravirez l'escalier jusqu'a l'infini.

La côte de Bretagne

En 1975, Benoît Mandelbrot, docteur ès sciences mathématiques à Paris, créait une révolution dans la géométrie traditionnelle en posant cette question pourtant simple : Combien mesure la côte de Bretagne ?
La réponse formulée par Mandelbrot est pour le moins surprenante : Cette mesure n'existe pas.
Tout au plus dépend-elle de l'unité de mesure utilisée.
Si l'on promène sur la côte un compas d'ouverture constante a, chaque pas commençant là où le précédent avait fini, on obtient ainsi une certaine longueur L(a).
Si on rend l'ouverture du compas de plus en plus petite, la longueur L(a) aura tendance à devenir de plus en plus grande.
Autrement dit, l'arpentage de la côte ne donnera pas les même résultats pour un humain, une souris, une mouche.
Remarquons que l'on obtient qu'une certaine approximation de la longueur cherché, qui dépend de la précision choisie.
C'est ce qui se passe dans toute démarche de mesure, mais dans le cas présent, les résultats ne répondent pas au principe de précision accrue : si on a montré en prenant pour unité la mètre qu'une longueur donnée mesure entre 3 m et 4 m, on s'attend, si l'on prend comme le cm, à trouver une mesure comprise entre 300 et 400 cm.
Que penser d'une mesure qui donnerait, par exemple 653 cm ?
C'est pourtant ce qui se passe dans le cas de la côte : les approximations successives ne sont pas cohérentes, les intervalles d'encadrement ne sont pas emboîtés.
Une nouvelle approche est nécessaire, une idée nouvelle est née : la notion de fractale.

Concerto pour Peano

Le mathématicien et logicien italien Giuseppe Peano (1859-1932) fut l'un des premier à semer la perturbation dans le bel ordre rationnel des dimensions géométriques.
Pendant longtemps, on n'a considéré que des concepts géométriques bien définis : le point, de dimension nulle, la ligne, de dimension 1, la surface de dimension 2,le solide, de dimension 3.
Que les mathématiciens utilisent des hyper-espaces de dimension 4 ou plus ne troublait pas cette classification.
Peano lança un pavé dans la mare, qui depuis n'en finit plus de déborder, en exhibant une courbe - donc une objet de dimension un - qui contenait tous les points d'un carré - de dimension deux.
Même si cette courbe n'est pas représentable, sinon par un carré entièrement noirci, elle possède toutes les propriétés de continuité d'une courbe classique.
Pour illustrer cette courbe, imaginons qu'un enfant a perdu une balle dans un champ.
Comment peut-on parcourir le champ sans repasser deux fois au même endroit pour êtres sûr de retrouver la balle (le champ est supposé très grand, la balle très petite et bien entendu invisible sauf si on est au dessus )?
En suivant une courbe de Peano, bien sûr !
Il faut donc se méfier des idées toutes faites.
Ainsi une pelote de laine peut en première approximation représenter un point, au même titre qu'une balle ou une orange.
Dévidez la pelote, et vous aurez alors l'image d'une ligne.
Mais l'art du tricot donnera l'image d'une surface... et la pelote de départ, selon l'approximation choisie, sera assimilé soit au point, soit à une sphère.
On imagine donc que la courbe de Peano ressemble à un tricot très serré, mais sans point double (on ne trouve pas de boucle prise l'une dans l'autre).
Les courbes de Peano présentent des particularités qui les placent à part, et on ne quitte pas sans dommage la dimension Un des lignes bien sage.
En particulier ces courbes n'ont pas de tangente en aucun de leur points, ce qui ajoute à la perplexité des mathématiciens de l'époque et des époques à venir- pour qui il était intuitif qu'une fonction continue soit dérivable, sauf à la rigueur en quelques points.
Mais n'avoir aucun point où la fonction, pourtant continue, ne soit dérivable, quelle horreur !
On a même désigné ces courbes du vocable peu reluisant de pathologiques.
Pour les plus matheux d'entre vous, voir ci-conte la construction d'une des courbes de Peano.

Construction d'une courbe de Peano

Il est clair qu'à tout nombre k compris entre 0 et 1 (1 exclu, pour éviter des ambiguïtés), on peut faire correspondre un développement décimal unique.
On peut écrire : k = 0, a1a2a3a4a5a6... les a étant des nombres compris entre 0 et 9.
Ce développement se prolonge à l'infini, éventuellement par une suite de zéros si k est décimal.
Si on considère les décimales de rang pair d'une part, et les décimales de rang impair d'autre part, on obtient un couple de nombres réel unique (x,y) déterminés par :
x = 0,a2a4a6a8...
y = 0,a1a3a5a7...
On obtient ainsi les points d'une courbe paramétrée par k dont on montre qu'elle est continue.
Il est clair d'autre part que le couple (x,y) étant donné, il lui correspond un seul k.
Tout point du carré (0,1(X(0,1( est donc atteint.

le flocon de neige

Lorsqu'on étudie les courbes fractales, on commence par étudier des fractales réguliers, se construisant par étape identique de façon rigoureuse.
La courbe fractale la plus connue est la courbe de von Koch, ou courbe flocon de neige en raison de sa forme.
On part d'un triangle équilatéral, et on partage chaque coté en trois segments.
On remplace alors le segment du milieu par les deux côtés d'un triangle équilatéral dont le segment ôté serait le troisième coté.
On obtient une étoile à six branches.
On réitère le procédé pour chacun des 12 segments obtenues.
On obtient ainsi les approximations successive de la courbe de von Koch, qui est telle que le plus petit morceau présente la même structure que le tout.
Un film d'animation de Jean-Baptiste Touchard, réalisé vers la fin des années 70 montre ce résultat d'une façon spectaculaire : un fragment de la courbe apparaît à l'écran, puis en effet le zoom rapproche la courbe.
On obtient ainsi une vision hallucinante de cette courbe, que l'on découvre avec une précision infinie... du moins en apparence, car le programme ne fait que passer d'une niveau de précision à l'autre, et boucle indéfiniment.
Plus modestement, je vous propose un petit programme en C qui donne les premières constructions de la courbe.
Voici la source de fractale1.c et le Makefile fractale1

Longueur infinie, aire finie

Il est clair que pour chaque phase de construction, longueur de la courbe en flocon est multipliée par 4/3, puisqu'un segment de trois unités est remplacé par quatre segments d'une unité.
Quand le nombre d'itération est n, la longueur de la courbe est (4/3)n, et tend vers l'infini avec n.
Par contre, l'aire du domaine enclos par cette courbe varie fort peu : lors de la première construction, on construit trois triangles dont l'aire vaut le neuvième de celle du triangle initial.
Donc l'aire augmente de 1/3.
Pour l'étape suivante, on obtient une augmentation de 12x(1/9)x(1/9)xa,etc.
L'aire totale est croissante mais bornée.
Il est de constater que si l'on inscrit l'étoile à six branche dans un hexagone régulier, la courbe restera à l'intérieur de cet hexagone, dont l'aire est donc un majorant de l'aire du domaine de von Koch.
Cette notion de courbe infinie enserrant une surface finie fait penser à ce tour de passe-passe consistant à passer à travers une carte de visite.
Un public non averti pariera bien entendu que c'est là chose tout à fait impossible.
Pourtant, en opérant une fente au centre de la carte, puis en découpant celle-ci alternativement de la fente vers les bords puis des bords vers le centre, on peut réaliser un anneau de plus d'un mètre de long, dans lequel il est aisé de passer...
La légende raconte que Didon, princesse exilée de Tyr, avait le terrain encerclé par la peau d'une vache, pour y fonder une ville.
On devine qu'elle obtint sans peine ce qu'elle demandait, sous les rires quolibets.
Ayant découpé la peau en lanières, elle encercla un territoire assez grand pour fonder Carthage !

Dimension fractale

Prenons un segment de longueur 1, et partageons-le en n segments de longueur 1/n.
Il existe une homothétie transformant n'importe lequel de ces segments en segment unité.
Cette homothétie a pour rapport n, et il faudra n segments pour « paver » le segment unité.
Passons maintenant au carré.
On peut passer du carré de côté 1/n au carré unité par une homothétie de rapport n, mais il faudra n² carrés pour paver le carré unité.
Si l'on passe au cube, il faudra n³ cube de 1/n de côté pour remplir le cube unité, le rapport homothétie étant toujours n.
Si l'on admet que la dimension du carré (surface) est 2, que celle du cube (solide) est 3, on voit que le rapport d'homothétie est de (r) est lié à la dimension (d) par la relation : n = rð.
Comme d, la valeur qui nous importe, figure en exposant, on va la chercher en utilisant la fonction ln (logarithme népérien, Log pour les informaticiens).
Comme Log(rð) = d * Log(r), il vient : Log(n) = d * Log(r), soit d = Log(n)/Log(r).
Dans le cas de la courbe en flocon, chaque segmentation peut être partagée en 4, dot chacune reproduit le segment initial en 3 fois plus petit.
Donc n = 4, r = 3.
Le calcul nous donne la dimension fractale d = Log(4)/Log(3), soit d = 1,2618...
La dimension non-entière est née.

Flammes et vagues

La courbe de von Koch, pour être la plus simple des fractales réguliers, est de loin d'être la seule.
Une courbe particulièrement intéressante est la courbe en flamme, où chaque segment est remplacé par une ligne brisée de 13 segments représentant schématiquement une flamme ou une vague.
La difficulté de construction vient du fait que tous les segments n'ont pas les mêmes longueur, et que la construction ne se fait pas toujours du même côté du segment initial.
Cette courbe ce comporte comme une courbe de Peano, et, à la limite, remplit tout le domaine intérieur à la courbe de von Koch : tout point point de cette surface est un point de la courbe, et la courbe ne repasse jamais deux fois par le même point.
Le programme fractale2.c indique une construction de cette courbe.
Vous pourrez évidemment modifier les paramètres pour obtenir la fractale de votre choix.
Notez aussi qu'il est possible de remplacer le segment joignant deux points non plus par une ligne brisée, mais par une courbe courbe.
On obtient alors des courbes aux formes adoucies, plus proche de celle que l'on peut rencontrer dans la nature.
Une vague qui déferle, par exemple, présente un caractère fractal : à la forme générale de la vague se superposent des vaguelettes, elles-mêmes découpées en vagues plus petites.
Le célèbre tableau du peintre japonais Hokusai, la vague, utilise la puissance esthétique de ce phénomène.
Il est à noter que presque toujours, en mécanique des fluides, on obtient des phénomènes fractals (Eh oui, il paraît que le pluriel n'est pas fractaux, mais fractals, pour ne pas déplaire aux anglaux-sacçons, peut êtres...), en particulier dans l'étude des turbulences.
Voici la source de fractale2.c et le Makefile fractale2

Le dragon du métro

Prenez un ticket de métro (ou une carte de visite).
Pliez-le en deux.
Si vous dépliez, vous obtenez un V.
Maintenant pliez votre ticket, non plus une fois, mais plusieurs fois sur lui même.
En dépliant afin que tous les plis forment des angles droits, vous obtenez une « courbe » formée des côtés des carrés d'un quadrillage régulier, comportant un certain nombre de points doubles.
En raison de sa forme (à partir d'un certain rang on distingue une tête au bout d'un cou et des pattes), cette courbe s'appelle la courbe du dragon.
Elle présente la particularité de pourvoir être utilisée comme une pièce de puzzle, et juxtaposée à elle-même, elle remplit complètement un quadrillage infini.
Par passage à la limite, elle pave le plan.

Quand le hasard d'en mèle

Chacun a entendu parler du mouvement brownien, déplacement apparemment incohérent des particules et des molécules, créé par le choc de celles-ci les unes contre les autres.
Un tel déplacement gouverné par le hasard s'appelle une randonnée, puisque l'évolution dans le temps est dû au random, mot d'ancien français signifiant rapidité, impétuosité, et s'appliquant au cheval dont le cavalier a perdu le contrôle, mot dont la langue anglaise a fait l'usage que l'on sait.
Bine qu'il s'agisse d'un mouvement chaotique, on peut trouver une certaine unité dans ce chaos : en première analyse, une particule se déplace selon une ligne brisée, parcourant des segments plus ou moins courts.
En fait, chacun de ces segments est lui-même une ligne brisée reproduisant à une échelle plus petite le chaos général.
Il en sera de même des analyses suivantes, jusqu'au stade où la dimension des particules n'est plus négligeable.
On retrouve les caractéristiques d'un univers fractal, mais non régulier, en quelque sorte modulé parle hasard.
On pense aux dessins réalisés par les surréalistes sous l'influence de la mescaline, où une mince trait remplit tout l'espace de la feuille, la plus étant guidée par une pensée déconnectée sous l'emprise de la drogue.
Aux variations dues au mouvement du poignet se superposent celles du tremblement de la mains puis des doigts.
Tout programmeur découvrant le graphisme a certainement réalisé un programme du genre de celui que je vous propose fractale3.c, qui ne doit rien au peyotl et d'un usage moins dangereux pour l'utilisateur.
Voici la source de fractale3.c et le Makefile fractale3

Paysages fractals

Les grand ludophiles que vous êtes ont certainement été déjà confronté aux image de synthèse, et à ces paysages fabuleux dont on murmure qu'ils doivent tout à la théorie des fractales.
Vous en savez maintenant assez pour comprendre qu'il s'agit d'une structure qui se reproduit à une échelle moindre, et qui donne l'illusion paradoxale d'un chaos cohérent... dans la mesure où nous évoluons.
En imposant certaines au programme fractale3, le programme fractale4.c crée des montagnes, des lacs, des îles, tout en restant dans une représentation en deux dimensions.
Pour créer une surface fractale, on peut procéder de la façon suivante : le plan est pavé de triangles, réguliers ou non.
Chaque sommet est déplacé vers le haut ou vers le bas d'une altitude aléatoire.
Puis on partage chaque triangle en quatre triangles, en joignant les milieux des côtés.
Les nouveaux sommets sont alors procédé autant de fois que l'on désire.
Si les variations verticale sont faible, on obtient une surface évoquant une feuille de papier froissé puis déliée.
Si les variations sont plus importantes, on peut créer des falaises, des cratères, c'est un pic, c'est un cap, que dis-je c'est un cap c'est une péninsule...
Voici la source de fractale4.c et le Makefile fractale4

L'éponge et le savon

Les paysages terrestres ou autres ne sont pas les seules configurations présentant des structures fractales.
Les mathématiques Sierpinski et Menger ont imaginé un objet à trois dimensions, dit l'éponge de Sierpinski et Menger, réalisé de la façon suivante :
Dans un solide quelconque un cube par exemple on creuse un certain nombre de trous.
Dans la surface restante, ainsi que dans les nouvelles surface engendrées par les parois des trous, ou creuse des trous plus petits, et ainsi de suite.
On obtient une surface dont l'aire est nulle alors que le périmètre des trous est l'infini.
Une autre configuration curieuse est le « savon phase smectique A « définie de la façon suivante : on part d'un domaine plan, carré ou triangle, et on cherche à placer plusieurs cercles les plus grands possibles.
Dans l'espace laissé libre, on place à nouveau des cercles, et ainsi de suite.
On obtient ce que l'on nomme en mathématiques un bourrage apollonien, en hommage au savant grec d'Alexandrie, Apolonnius de Perge, dont les recherches sont toujours actuelles, puisqu'on les retrouve dans la description d'un catégorie de cristaux liquides, et dans l'étude du point triple où les trois états de la matière -gazeux, liquide, solide cœxistent.
Dans ce bourrage les cercles couvrent presque tous les points.
L'ensemble des points non couverts - appelée tamis apollonien- a une superficie nulle, mais sa mesure linéaire, somme des circonférence des cercles bourrants, est infinie.
La dimension du tamis n'a pu être déterminée mathématiquement, mais on pense qu'elle se situe aux alentours de 1,3058...

Pour conclure ( ?)

Un objet fractal intéressant, appelé poussière de Cantor, du nom du père de la théorie des ensembles, s'obtient de la façon suivante : on prend un segment que l'on partage en trois.
On élimine le segment central, et on réitère sur chacun des segments restants.
On obtient ainsi un ensemble de points extrêmement ténu, dont la dimension est comprise entre 0 et 1.
Les propriétés mathématiques de cette poussière sont complexes.
Citons seulement que l'intersection de la courbe de von Koch avec sa base (premier tracé) est une poussière de Cantor.
Il en est bien entendu de même si l'on prend toute étape de construction au lieu de la première.
Notons encore que l'on rencontre des phénomènes fractals dans l'étude de nombreuse situations aléatoires, donc en particulier en théorie des probabilités.
Que l'on rencontre ainsi dans l'étude des fractales les cratère de la lune, les trous du gruyère, la distribution des galaxies, le relief terrestre, des éponges, des poussières, des tamis ne peut donc nous étonner.
Les fractales sont partout, dans le plan des villes, dans les êtres unicellulaires, dans les marbrures des roches... en bref dans tout phénomène naturel ou imaginaire où l'on rencontre des objets de forme irrégulière ou interrompue.
Entre l'ordre excessif d'Euclide et le chaos incontrolé se situe maintenant un nouveau degré d'organisation : l'ordre fractal.
Jean-pierre Duclos

Revenir au haut de la page