Home

Les neuf muses

Table des matières

  1. Les neuf muses.
  2. Euclide et le plan a neuf points
  3. Réservé aux matheux
  4. Le tore boyau
  5. Quelques tours de cartes

Les neuf muses.

Ces divinités légendaires, patronnes des chants et des sciences, son tout à fait à l'honneur dans cette rubrique.
La généalogie, le nombre et les attributions des muses se sont modifiés au cours des temps, mais depuis Hésiode, on s'en tient à la légende suivante: les muses étaient neuf filles de Zeus et de Mnémosyne, Titanide personnifiant la Mémoire.
L'histoire raconte que l'union de Zeus et Mnémosyne dura neuf jours -et surtout neuf nuits- et que c'est pour cette raison que les muses sont neuf!
On sait aussi que les muses étaient regroupées le plus souvent autour d'Apollon, surnommé pour cette raison musagète (c'est bien fait !), et surtout qu'elles ont des noms impossibles: Calliope, Clio, Erato, Euterpe, Melpomène, Polymnie, Terpsichore, Thalie, Uranie.
A vous de retrouver leurs attributions, toutes n'étant pas devenues une émission de télévision ou une marque de disques classiques...
Pour ma part, je les appellerai A B C...I, si vous n'y voyez pas d'inconvénient.
Les muses se réunissaient plusieurs fois par semaine, afin d'échanger leurs impressions de travail.
Elles formaient alors des groupes de trois, quatre fois par semaine, et s'arrangeaient pour respecter la règle suivante: chaque muse doit rencontrer chacune des autres au cours de la semaine au moins une fois au cours de ces réunions.
On en déduira immédiatement que, puisque chaque muse doit rencontrer les huit autres sur quatre jours, elle ne pourra se trouver deux fois avec aucune de ses consoeurs: deux muses rencontrées à chacune des quatre réunions, cela donne huit muses.
Comment peut-on organiser les réunions pour que le problème soit possible ?
Intéressons-nous à la muse A.
On peut créer quatre groupes assez facilement: ABC, ADE, AFG, AHI.
Si l'on cherche avec B, on devra éliminer la rencontre avec A et la rencontre avec C, déjà réalisée dans ABC.
Essayons les autres: BDE impossible, car D et E se sont rencontrées dans ADE.
On peut alors proposer BDF, BEG.
Mais B doit encore rencontrer H et I, et ne peut les rencontrer à la fois en raison de AHI.
On doit alors associer B dans les groupes BDF, BEI, BGH.
Un raisonnement semblable sur C, D puis E (il n'est pas nécessaire d'aller au-delà) permet de construire douze groupes -douze triades- vérifiant la propriété cherchée:

ABC, ADE, AFG, AHI, BDF, BEI, BGH, CDH, CEG, CFI, DGI, EFH

Il reste à former les quatre groupes de trois triades:

ABC ADE AFG AHI
DGI BGH BEI BDF
EFH CFI CDH CEG

Pour retrouver ces groupements, il suffit de former un tableau où l'on porte les trois premières triades, en s'arrangeant pour que les triades du deuxième groupe se lisent verticalement/
On recopier deux fois le tableau obtenu, et on lit les deux derniers groupes selon les deux diagonales:

A B C A B C A B C
D G I D G I D G I
E H F E H F E H F

En étudiant cette méthode, on trouve le nombre de dispositions possibles: il suffit de construire un tableau 3x3, et cela peut se faire de 9! façons possibles, soit 362 880.
Il vaut alors diviser par 3*3!: permuter les termes de deux lignes ou deux colonnes donne deux tableaux équivalents.
On doit ensuite diviser par 4!, puisque les quatre groupes sont interchangeables.
5si vous ne le savez pas encor, n! représente le produit de tous les entier de 1 à n).
On obtient "seulement" 840 tableaux.

ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC___ABD ...
DEF DEG DEH DEI DFG DFH DFI DGH DGI DHI___CEF ...
GHI FHI FGI FGH EHI EGI EGH EFI EFH EFG___GHI ...

Au choix de ABC comme priemière triade correspondent dix tableaux différents.
Or, le choix de la première triade peut se faire de C(8,2) = 28 façons différentes:

ABC ABD ABE ABF ABG ABH ABI ACD ACE ACF
ACG ACH ACI ADE ADF ADG ADH ADI AEF AEG
AEH AEI AFG AFH AFI AGH AGI AHI

On obtient ainsi 280 tableaux.
Mais on peut modifier chacune des lignes en effectuant une permutation de ses termes.
Pour un tableau de base, on peut alors construire 6^2 = 36 tableaux, si l'on décide que la première ligne reste inchangée.
Ainsi, le premier tableau donne:
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ... ABC
DEF DEF DEF DEF DEF DEF DFE DFE ... FED
GHI GIH HGI HIG IGH IHG GHI GIH ... IHG
( 36 tableaux )

Mais des tableaux différents ne donnent pas forcément des groupes de triades différents.
Ainsi les tableau:

ABC ABC ABC ADG ADG ADG AEI AEI AEI AFG AFG AFG
DEF EFD FDE BEH EHB HBE BFG FGB GBF BDH DHB HBD
GHI IGH HIG CFI ICF FIC CDH HCD DHC CEI ICE EIC

...définissent les mêmes groupes.
Il convient donc de diviser par 12 le résultat obtenu.
On obtient bien ainsi le nombre prévu.

Euclide et le plan a neuf points

Choisissons l'une des configurations, et établissons les quatre fois trois triades de la semaine:

ABC ADG AEI AFH
DEF BEH BFG BDI
GHI CFI CDH CEG

En raison même de la recherche entreprise, on observe les propriétés suivantes:
a) Chaque triade est une partie de l'ensemble des Muses.
b) Si l'on choisit DEUX muses, elles se trouveront réunies dans une triade et une seule.
Cela ne vous rappelle rien?
Une droite est une partie de l'espace et par deux points passe une droite et une seule
Nous retrouverons deux des axiomes des droites.
Si maintenant nous choisissons l'une des triades parmi les douze, par exemple BEH.
Six muses ne participent pas à cette triade.
Prenons l'une d'entre elles, D par exemple, et cherchons toutes les triades où figure D, mias où ne figurent ni B, ni E, ni H.
On en trouve une seule, ADG.
C'est elle contenant D et l'opérant le même jour que BEH.
Le résultat est le même pour n'importe qu'elle triade associée à n'importe quelle muse extérieure.
On retrouve l'axiome d'Euclide:
Par un point pris hors d'une droite, on ne peut mener qu'une parallèle à cette droite.
On peut donc considérer les neuf muses comme les neuf points d'un plan contenant douze droites de trois points chacune, réparties en quatre groupes de droites parallèles (ce que l'on appelle une direction).
Nous entrons dans l'étude d'un espace FINI, où certaines propriétés géométriques du plan restent vrais, mais où d'autres s'avèrent fausses, et où par contre des vérités nouvelles voient le jour.
Prenons l'une des droites, par exemple ABC, et un point extérieur à cette droite, D.
En géométrie classique, on obtient un plan comme réunion de toutes les droites contenant le point choisi et un point quelconque de la droite.
Dans exemple choisi, on ne trouvera que trois droites: (AD), contenant G, (DB), contenant I, et (DC) contenant H.
L'ensemble obtenu, ABCDEFGHI, contient les neuf points.
Donc l'ensemble des neuf points est un plan.
Ce qui explique que deux droites sans éléments communs soient parallèles, ce qui n'est plus vrai dans l'espace à plus de deux dimensions.
Par exemple, appelons milieu de deux points distincts le troisième point de la droite contenant ces deux points.
Ainsi, le milieu de D et H est C.
Si l'on prend deux points identiques, pas de problème: le milieu de G et G est G lui-même.
Cette définition donne bien un "milieu" à deux points, mais l'on se rend vite compte que les notions de distance sont perturbées: distance AB = distance AC + distance BC, puisque C est le milieu de (A,B).
Mais distance BC = distance AB + distance AC puisque A est le milieu de BC.
Donc distance AB = 2*distance AC + distance AB, d'où 2*distance AC = 0.
Mais distance AC <> 0, pusique A et C sont distincts !
On tombe sur une contradiction, à moins d'admettre qu'il exsite des DIVISEURS DE ZERO, nombres non nuls dont le produit est nul...
Certaines propriétés sont curieuses: prenez un triangle, c'est-à-dire trois points non alignés: A,B,D par exemple.
Les médianes de ce triangle sont les droites contenant un sommet (A par exemple) et le milieu du côté opposé (I, milieu de B,D).
Les médianes sont dans cet direction commune est la quatrième direction, les trois autres étant déterminées par les côtés du triangle.

Réservé au matheux:

Rappelons la définition du parallélogramme: XYZT est un parallélogramme si X,Z et Y,T ont le même milieu.
Ainsi ABIH est un parallélogramme de centre E.
On peut ainsi classer chaque bipoint dans un vecteur.
On trouve - évidemment- neuf vecteurs dont un vecteur nul.
La répartition se fait de la façon suivante:

AA BB CC DD EE FF GG HH II (vecteur nul).
AB BC CA DE EF FD GH HI IG
AC BA CB DF ED FE GI HG IH
AD BE CF DG EH FI GA HB FI
AE BF CD DH EI FG GB HC IA
.......

Je laisse au lecteur le soin de compléter le tableau.
La disposition proposée plus haut permet une plus grande aisance dans la détermination des classes.
On remarque que pour tout vecteur U, on peut écrire, par la relation de Chasles, U + U + U = 0 (vecteur nul).
Ce qui revient à poser 3 = 0.
On se trouve ainsi plongé dans l'ensemble des entier modulo 3, où on ne rencontre que les trois nombres: 0, 1 et 2 (qui s'appelle aussi -1).
Les règles de calcul donnent:

0 + 0 = 0 1 + 1 = 2 2 * 2 = 1, 0 et 1 jouant leur rôle habituel.
0 + 1 = 1 1 + 2 = 0
0 + 2 = 2 2 + 2 = 1

Le tore boyau

Sur un cercle, portez les points A, B, C.
Une fourmi se déplaçant sur le cercle en croyant être sur une droite, remarquera, pour peu qu'elle sache lire, qu'elle rencontre toujours les lettres A, B, C, A, B, C, A, etc... (Relire l'histoire des Dupondt perdus dans le désert!).
Pour passer au plan, considérez le tableau écrit sur un carré d'une matière déformable à l'infini, une sorte de caoutchouc par exemple:

---------
|A B C|
|D E F|
|G H I |
---------

Si l'on recolle le bord ADG au bord CFI, nous obtiendrons un cylindre.
Notre fourmi lettrée aura donc une vision du plan semblable au tableau décrit plus haut, mais l'infini

...ABCABCABCABCABCABCABCABC...
...DEFDEFDEFDEFDEFDEFDEFDEF...
...GHIGHIGHIGHIGHIGHIGHIGHI...

Si maintenant on recolle le bord ABC au bord GHI, nous obtenons un tore, surface comparable à un pneu ou un boyau de bicyclette.
Notre vision myrmécophile donnera alors:

..............................
...ABCABCABCABCABCABCABCABC...
...DEFDEFDEFDEFDEFDEFDEFDEF...
...GHIGHIGHIGHIGHIGHIGHIGHI...
...ABCABCABCABCABCABCABCABC...
...DEFDEFDEFDEFDEFDEFDEFDEF...
...GHIGHIGHIGHIGHIGHIGHIGHI...
...ABCABCABCABCABCABCABCABC...
...DEFDEFDEFDEFDEFDEFDEFDEF...
...GHIGHIGHIGHIGHIGHIGHIGHI...
..............................

Chose curieuse, sur cette vision plane du tore, on peut faire apparaître tout parallélogramme comme un VRAI parallélogramme.
Même un parallélogramme aplati comme ABCB peut être représenté comme un parallélogramme propre, en choisissant convenablement les points.
Que penser de la proposition suivante:
Tout parallélogramme du plan ci-dessus est un parallélogramme du plan à neuf points ?
Notons que les mathématiciens désignent ce genre de structure qui se répète indéfiniment sous le vocable de VARIETE!
C'est sans doute le sens que l'on donne à ce mot à la télévision...

Quelques tours de cartes

Le problème des muses permet un petit tour de cartes bien anodin.
Le public choisit secrètement deux cartes sur neuf.
$ On lui présente ensuite l'ensemble des cartes disposées en trois rangées de trois cartes, et le cobaye doit désigner la ou les colonnes où se trouvent les cartes choisies, et cela trois fois de suite.
tout l'art du magicien consiste à faire croire que les cartes sont disposées au hasard, mais vous aurez déjà compris qu'il s'agit de trois dispositions étudiées plus haut!
Par exemple, on propose:

ABC ADG AEI
DEF BEH BFG
GHI CFI CDH

Si les cartes choisies sont, par exemple, A et E, il sera répondu "1 et 2" dans le premier cas. Ce qui donne neuf possibilités: AB, AE, AF, BD, BE, BF, CD, CE, CF.
La réponse "1 et 2" du deuxième tableau permet d'éliminer toutes les réponses sauf AE et BD.
La réponse "1 seulement " au troisième tableau permet de conclure.
On peut parfois conclure dès le deuxième tableau (pour DF par exemple).
Une stratégie de même ordre permet de deviner une carte parmi 32.
On dispose quatre colonnes de huit cartes, et le public est invité à désigner la colonne où se trouve la carte choisie.
Les carte sont ramassées par colonnes, puis redistribuées horizontalement.
Les huit carte de la colonne choisie se trouvent réparties à raison de deux par colonne.
Le troisième passage permet de faire le choix entre ces deux cartes.
Pour conclure avec les tours de cartes, celui-ci permet de déterminer deux cartes parmi 20 à l'aide d'une indication: on présente d'abord dix paires de cartes, et on demande d'en choisir une secrètement.
On dispose ensuite les cartes en quatre rangées de cinq et on demande dans quelles rangées se trouvent les cartes choisies.
On trouve alors la paire de carte choisie.
L'explication de ce tour tient dans une formule latine : MUTUS NOMEN DEDIT COCIS.
On remarque que chaque lettre figure deux fois, et chaque paire de lettre figure dans un couple différents: M dans le premier et le troisième mot, U deux dans le premier mot, T dans le premier et le troisième, etc...
Il suffit donc, sans mélanger les paires, de les disposer afin de former la formule magique:

MUTUS
NOMEN
DEDIT
COCIS

La première carte placée étant M, on placera le deuxième à l'emplacement du deuxième à l'emplacement du deuxième M.
On placera ensuite les U, les T, les S...
La disposition des lettre fait croire que l'on dispose les cartes au hasard. Les carte sont donc disposées dans l'ordre suivant:

1 3 5 4 7
9 11 2 13 10
15 14 16 17 6
19 12 20 18 8

Si l'indication est "deuxième et troisième lignes", on cherche les lettres communes entre NOMEN et DEDIT: il s'agit de la lettre E.
La paire cherchée est donc: nomEn, quatrième carte de la deuxième ligne, et dEdit, deuxième carte de la troisième ligne (soit paire 13-14).
Pourquoi ne pas créer un programme où votre PC chéri tiendrait le rôle du devin ?
Voici les sources du programme devin, cartes
On peut généraliser ce tour à un nombre quelconque de cartes, pourvu qu'il soit de la forme n*(n+1)...
Nous étudierons l'article prochain, suite à la problématique des neuf Muses, celle des "Demoiselles du Pensionnat", qui n'est pas moins piquée des hanetons!...
Jean-Pascal Duclos

Revenir au haut de la page